Probabilistic Prediction

Probabilistic Prediction

• 미래에 일어날 일에 확률을 설정한 prediction, probabilistic forecasting이라고도 함

• Example) prediction이 "내일 비가 온다"라고 한다면 probabilistic prediction은 "내일 비가 올 확률이 60%이다"라고 말하는 것

Words of estimation probability (WEP)

• WEP prediction: "내일 비가 올 것 같다"처럼 불확실성이 내포된 표현

• WEP는 수치로 변환하는 기준이 없음

Odds

• 사건의 odds는 다음과 같이 정의됨

$$O(E) = {{P(E)} \over {P(E^c )}}$$

• 보통 E와 not E를 비교함

• A와 B를 비교할 수도 있음( = P(A) / P(B) )

• Bayesian 관점의 odds: 주어진 데이터 D에 대한 hypothesis H의 odds

Bayes factors

\eqalign{ & O(M|F) = {{P(F|M)} \over {P(F|M^c )}} \cdot {{P(M)} \over {P(M^c )}} \cr & = {{P(F|M)} \over {P(F|M^c )}} \cdot O(M) \cr}

P(M) = Marfan disease에 걸렸을 확률

P(F) = 증상(features)이 나타날 확률

• posterior odds = Bayes factor * prior odds

• Bayes factor란 likelihood의 비율을 의미함

• Bayes factor는 데이터에 의해 제공된 'evidence'의 강도를 나타냄

• Bayes factor가 크더라도 prior odds가 작으면 odds가 작을 수도 있음

Example) 전체 인구의 0.005의 확률로 질병이 발병한다. 선별 검사 결과 false positive는 0.05, false negative는 0.02이다.

1. 질병의 prior odds는?

\eqalign{ & Let\,H_ + = 'has\,disease'\,and\,H_ - = 'doesn't' \cr & Let\,T_ + = positive\,test \cr & O(H_ + ) = {{P(H_ + )} \over {P(H_ - )}} = {{0.005} \over {0.995}} = 0.00503 \cr}

likelihood table:

1. 이 데이터에서 Bayes factor는?

   Bayes factor = ratio of likelihoods

   $$= {{P(T_ + |H_ + )} \over {P(T_ + |H_ - )}} = {{0.98} \over {0.05}} = 19.6$$
2. posterior odds는?

   = Bayes factor * prior odds = 19.6 * 0.00504 = 0.00985

3. 1과 2의 답변에 근거하여 positive test(해당 검사)가 제공하는 evidence가 강한지 약한지 구분할 수 있음?

   구분 가능함. bayes factor가 19.6으로 환자가 병에 걸렸는지에 대한 강한

   evidence를 나타냄. 아래와 같이 bayesian update table로도 나타낼 수 있음