# Probabilistic Prediction

## Probabilistic Prediction

* 미래에 일어날 일에 확률을 설정한 prediction, probabilistic forecasting이라고도 함
* Example) prediction이 "내일 비가 온다"라고 한다면 probabilistic prediction은 "내일 비가 올 확률이 60%이다"라고 말하는 것

## Words of estimation probability (WEP)

* WEP prediction: "내일 비가 올 것 같다"처럼 불확실성이 내포된 표현
* WEP는 수치로 변환하는 기준이 없음

## Odds

* 사건의 odds는 다음과 같이 정의됨

$$
O(E) = {{P(E)} \over {P(E^c )}}
$$

* 보통 E와 not E를 비교함
* A와 B를 비교할 수도 있음( = P(A) / P(B) )
* Bayesian 관점의 odds: 주어진 데이터 D에 대한 hypothesis H의 odds

## Bayes factors

$$
\eqalign{ & O(M|F) = {{P(F|M)} \over {P(F|M^c )}} \cdot {{P(M)} \over {P(M^c )}} \cr & = {{P(F|M)} \over {P(F|M^c )}} \cdot O(M) \cr}
$$

P(M) = Marfan disease에 걸렸을 확률

P(F) = 증상(features)이 나타날 확률

* posterior odds = Bayes factor \* prior odds
* Bayes factor란 likelihood의 비율을 의미함
* Bayes factor는 데이터에 의해 제공된 'evidence'의 강도를 나타냄
* Bayes factor가 크더라도 prior odds가 작으면 odds가 작을 수도 있음

Example) 전체 인구의 0.005의 확률로 질병이 발병한다. 선별 검사 결과 false positive는 0.05, false negative는 0.02이다.

1. 질병의 prior odds는?

$$
\eqalign{ & Let,H\_ + = 'has,disease',and,H\_ - = 'doesn't' \cr & Let,T\_ + = positive,test \cr & O(H\_ + ) = {{P(H\_ + )} \over {P(H\_ - )}} = {{0.005} \over {0.995}} = 0.00503 \cr}
$$

likelihood table:

![](/files/SFHkoDDsuZ3EHG3G9wrZ)

1. 이 데이터에서 Bayes factor는?

   Bayes factor = ratio of likelihoods

   $$
   \= {{P(T\_ + |H\_ + )} \over {P(T\_ + |H\_ - )}} = {{0.98} \over {0.05}} = 19.6
   $$
2. posterior odds는?

   \= Bayes factor \* prior odds = 19.6 \* 0.00504 = 0.00985
3. 1과 2의 답변에 근거하여 positive test(해당 검사)가 제공하는 evidence가 강한지 약한지 구분할 수 있음?

   구분 가능함. bayes factor가 19.6으로 환자가 병에 걸렸는지에 대한 강한

   evidence를 나타냄. 아래와 같이 bayesian update table로도 나타낼 수 있음

   <img src="/files/iNHAtx9d36uolSd5X1pc" alt="" data-size="original">


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