Autoregressive(AR) model based

A COMPARISON OF AUTOREGRESSIVE MODELING TECHNIQUES FOR FAULT DIAGNOSIS OF ROLLING ELEMENT BEARINGS

D. C. Baillie and J. Mathew, Mechanical Systems and Signal Processing, 1996

Introduction

베어링 고장 진단은 짧은 시간동안의 신호를 분석해야함: 푸리에보다 성능이 좋음

Model-based fault diagnosis

AR 모델은 3가지로 나눌 수 있음: pattern classification, rule-based inference, mathematical modeling

이 논문에서는 'black-box' autoregressive time series model을 씀

general autoregressive process:

$$\hat y\left( t \right) = f\left( {y\left( {t - 1} \right),y\left( {t - 2} \right),...,y\left( {t - n} \right)} \right)$$

modeling prediction error

$$e\left( t \right) = y\left( t \right) - \hat y\left( t \right)$$

노이즈가 많은 신호라면 노이즈를 필터링 해야함: average square of error for prediction, 노이즈가 많다면 이 평균의 개수가 중요함(??), SNR은 전체 power에 따라 에러도 normalize시키기 때문에 좋은 averaging process임

$$SNR = 10\log _{10} \left( {{{\sum {y\left( t \right)^2 } } \over {\sum {e\left( t \right)^2 } }}} \right)$$

결함을 classification하는 가장 쉬운 방법은 SNR이 최대화되는 모델을 만드는 것: 모델이 robust하지 않으면 잘못될 확률이 다소 높다

조금 더 정교한 방법: baye's rule 단점: 특정 확률은 미리 알고있어야함

probability of fault existence:

$$P\left( {M_i |SNR_i } \right) = {{p\left( {SNR_i |M_i } \right) \cdot P\left( {M_i } \right)} \over {\sum\limits_j {p\left( {SNR_i |M_j } \right)} \cdot P\left( {M_j } \right)}}$$

This is defined as the probability that a fault of class i is present given that the jth model in the observer bank has generated a SNR in response to a vibration signal input

j번째 모델이 진동 신호 인풋에 대해 SNR을 생성한 경우에 클래스 i 결함이 존재할 확률

prior probability P(M): 각 타입별로 결함이 일어날 확률(각각 동일하다고 정의)

​ ex) inner race의 likelihood와 normal condition의 likelihood는 동일함

P(SNR|M) : 각 결함 모델에 대한 SNR의 conditional probability density (실험으로 얻은 데이터)

Test Rig and Data Collection

• 베어링 타입: double row self aligning type

• load: 9.0 kN

• 외륜은 하우징에 고정, 하우징에 가속도 센서 부착

• shaft speed: 3000 rpm

• 결함

  • 종류

    • inner race fault

    • outer race fault

    • rolling element fault

  • 가공 방법

    • electro discharge machining

preprocessing the time series signal

• amplitude demodulation (= high freq. resonance envelope detection) 수행: 아날로그 하드웨어를 사용

  • 베어링 외부 신호를 필터링하는데 효과적이다, 필수적임

• normalization

  • neural network에서 input으로 사용하기 위함

Linear Autoregressive Modeling

linear autoregressive model:

$$\hat y\left( t \right) = a_1 y\left( {t - 1} \right) + a_2 y\left( {t - 2} \right) + ... + a_n y\left( {t - n} \right) + e\left( t \right)$$

• model order: 몇개의 past input을 쓸 것인가, 실험으로 찾아야함

• model parameter: 기존에 있는 알고리즘 많으니까 갖다 쓰기

  • 이 논문에서는 간단하게 설명하기 위해 forward least-square algorithm을 사용

• model validation: 성능이 별로면 차수를 높여서 반복

linear AR model은 single layer neural network처럼 사용될 수 있음 ↓

그렇게 해서 찾은 optimal linear AR model:

inner race와 outer race fault에 대해 매우 정확함

rolling element fault는 매 회전마다 defect 신호가 발생하는 건 아니라서 정확한 예측에 약간의 어려움 있음

normal bearing은 노이즈가 랜덤하기 때문에 모델을 만드는 데에 어려움이 있음

모델을 정하고 나서 data length에 따른 성능을 평가함: prediction error에서 SNR 계산

normal bearing에서 가장 안 좋음

​ 이유: This was primarily because the classifier did not perform sufficiently well as it only indicated low probabilities of the response of a normal bearing condition

Backpropagation Neural Network

....

Diagnostics 101: A Tutorial for Fault Diagnostics of Rolling Element Bearing Using Envelope Analysis in MATLAB

Seokgoo Kim, Dawn An, Joo-Ho Choi, MDPI, 2020

Discrete Signal Seperation

AR model: to estimate the current value of time series data via weighted sum of the past values

raw signal - AR model = residual signal

AR model:

$$x_p \left( n \right) = - \sum\limits_{k = 1}^p {a\left( k \right)x\left( {n - k} \right)} \,or\,in\,a\,matrix\,form\,x_p = - X_a$$

p: order

a(k) 얻기 위해 Yule-Walker eqn. 사용

r_xx는 x(n)의 autocorrelation func.이고 다음과 같음

order p를 결정하는 기준

• Akaike information criteria (AIC), Bayesian information criterion (BIC), Minimum description length (MDL), Partial Autocorrelation Function (PACF)

• 이 논문에서는 residual signal의 kurtosis가 가장 높아질 때의 p를 사용