Poisson Distribution
Theory
Poisson Distribution 이란?
표집된 단위 시간 (혹은 단위 공간)에서 발생한 사건의 도수 분포
단위 시간 안에 몇 번 발생할 것인지를 표현하는 이산 확률 분포
푸아송 분포의 기대값 및 분산은 λ
PMF of Poisson Distribution
Is it valid PMF?
Expectation value
When use?
주어진 시간,거리,면적 등에서 임의 사건이 발생하는 횟수를 세야 하는 경우에 적합.
Ex) 초당 클릭 횟수, 시간당 매장에 들어오는 사람 수, 1분에 네트워크에서 손실되는 패킷 수 등
굉장히 여러 번 시행하지만 성공확률이 낮은 경우에 사용.
Number of emails in hour.
Number of chips in chocolate chip cookies.
Number of earthquakes in a year in some region.
Poisson Paradigm (Poisson Approximation)
Events A~1~, A~2~, ... A~n~, P(A~j~)=p~j~ (n is large, p~j~ is small)\
각각의 사건들이 "independent" or "weakly independent" 하다면,
Then # of A~j~'s that occur is approximated,
이항분포가 어떻게 푸아송 분포로 수렴하려는가?
Practice (MATLAB)
푸아송 분포의 pdf 계산하기
모수 lambda=4 를 갖는 푸아송 분포의 pdf를 계산해보자.
x = 0:15;
y = poisspdf(x, 4);
figure();
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

푸아송 분포의 cdf 계산하기
x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);
figure;
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

푸아송 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기
labmda가 크면 푸아송 분포는 평균 lambda와 분산 lambda를 갖는 정규분포로 근사가 가능하다.
모수 labmda=50을 갖는 푸아송 분포의 pdf를 계산해보자.
lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1, lambda);
mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);
figure;
bar(x1, y1, 1)
hold on
plot(x2, y2, 'LineWidth', 2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution', 'Normal distribution', 'location', 'northwest')
hold off

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