Envelope Extraction based

Diagnostics 101: A Tutorial for Fault Diagnostics of Rolling Element Bearing Using Envelope Analysis in MATLAB

Bearing Diagnostics

• Fault signal given by amplitude modulation

​ 위 현상은 Amplitude Modulation(AM)(아래)과 같은 원리

• Simulation of fault signal

  실제 베어링 신호와 비슷한 신호 만들기

  • Fault Signal + Resonance Signal = Modulated Signal

$$
\eqalign{
  & x_1 (t) = A\exp ( - \alpha t') & where\,t' = \bmod (t,1/f_f )  \cr 
  & x_2 (t) = \sin (2\pi f_r t) & where\,f_r  = 600Hz  \cr 
  & x_3 (t) = x_1 (t)*x_2 (t) \cr}
$$

• Modulated signal + Noise(Discrete, White) = Raw Signal

$$x(t) = x_3 (t) + x_4 (t) + x_5 (t)$$

Discrete Signal: 기어, 샤프트 등에서 발생하는 노이즈

Diagnosis Using Simulation Data

• 목적: 노이즈가 섞인 raw signal에서 fault information만 추출하는 것

• 3 steps

  • discrete signal 분리

    • 다른 요소들의 신호를 없애기 위함

    • Autoregressive model 적용

  • demodulation band selection

    • resonance freq.를 포함한 band를 찾아서 band-pass filter를 만듦

    • SK와 STFT 사용

  • envelope analysis

    • original fault signal을 찾기 위함

    • Hilbert transform 적용

• Discrete signal seperation

  • AR 모델을 사용해서 deterministic signal과 residual signal을 분리했다

    
  • AR model의 order는 residual signal의 kurtosis가 최대가 되는 값으로 정한다

    
• Demodulation Band Selection

  • residual signal에서 resonance frequency를 포함하는(?) frequency band를 찾는다

  • spectral kurtosis: time-frequency diagram에서 각 주파수에서의 kurtosis, STFT으로 정의됨

    

    $$K(f) = {{\left\langle {\left| {S(t,f)} \right|^4 } \right\rangle } \over {\left\langle {\left| {S(t,f)} \right|^2 } \right\rangle ^2 }} - 2$$

    S(t,f) : residual signal의 STFT

  • 이 논문에서는 Hann window를 사용함

    $$w(l) = 0.5\left( {1 - \cos \left( {2\pi {1 \over {L - 1}}} \right)} \right),\,0 \le l \le L - 1$$
  • 여기서 window length는 fault interval이 0.1초(n=300)로 눈에 보이기 때문에 이것보다 짧아야함

  • 각각의 윈도우 길이로 SK를 구하면 superposition됨

    
  • 공통적으로 freq 500~700에서 SK가 최대이기 때문에 선정

• Envelope Analysis

  • sub-step

    1. Hilbert transform

    2. Analytic signal의 절대값인 envelope signal을 얻기 위해 Magnitude 계산

    3. Envelope signal에 fft를 돌려서 fault freq.를 찾음

  • Hilbert transform

    • 90 deg phase shifter

      $$a_x (t) = x(t) + j\hat x(t) = \sqrt {x^2 (t) + \hat x^2 (t)} e^{j\varphi _x (t)} = A_x (t)e^{j\varphi _x (t)}$$

  a_x(t) : analytic signal (envelope)

  x(t) : 원래 신호

  x^(t) : 90도 phase shift된 신호

​

  ![](../images/envelope/result.png)

  a, b: faulty bearing

  c, d: healthy bearing

- 원래 신호(아래)와 다르게 나온 이유

  ![fault_signal](D:/MCE/대학원/Digital Twin/Research/images/envelope/fault_signal.png)

  : sampling rate가 낮고 AR filtering 때문에 residual signal의 length가 변했기 때문

Rolling Bearing Fault Classification Based on Envelope Spectrum and Support Vector Machine

2008, Lei Guo, Jin Chen, Xinglin Li, Journal of Vibration and Control

Introduction

Envelope Spectrum Analysis

• envelope signal = analytic signal의 amplitude

  • analytic signal = s(t) + jh(t)

    s(t) : original signal

    h(t) : hilbert signal

Hilbert Transform

• Hilbert transform의 정의 (Boashash, 1992)

  $$h\left( t \right) = H\left\{ {s\left( t \right)} \right\} = {1 \over \pi }\int_{ - \infty }^\infty {{{s\left( \tau \right)} \over {t - \tau }}d\tau } = {1 \over {\pi t}}*s\left( t \right)$$
• 1/πt의 푸리에 변환은 다음과 같음

  

  • sgn: 어떤 함수의 부호를 출력하는 함수

  • 따라서 Hilbert transform은 신호의 amplitude를 input signal의 주파수의 부호에 따라 ±90도 phase shift시켜주는 함수라고 할 수 있음

• analytic signal

  $$z\left( t \right) = s\left( t \right) + jh\left( t \right)$$
• envelope of the analytic signal

  $$E\left( t \right) = |z\left( t \right)| = |s\left( t \right) + jh\left( t \right)| = \sqrt {s^2 \left( t \right) + h^2 \left( t \right)}$$
• 고장이 발생하면 envelope spectrum에 고장 특성 주파수가 나타남

Rolling Bearing Vibration Frequency Features

• 고장 위치에 따른 기본 주파수들

  • fr : shaft rotation freq.

  • fc : fundamental cage freq.

  • fb : ball rotational feq.

  • fi : ball pass inner race freq.

  • fo : ball pass outer race freq.

Support Vector Machine

Two-Class SVM

• SVM: developed by Vapnik and his co-workers (Vapnik, 2000)

• 커널 함수 Ф(x)를 사용해 original input pattern space (N-dimensional)에서 high dimensional separable feature space(Q-dimensional, Q>N)으로 벡터를 매핑

• 두 개의 데이터셋 사이에 선이나 초평면을 만듦

  • 저차원에서 비선형인 문제를 고차원에서 선형 문제로 변환시킬 수 있음

• $$\,\left( {x_i ,y_i } \right),\,\left( {i = 1,2,...,l} \right)\,$$

  를 training example이라고 가정하고

  $$x_i \in R^N$$

  는

  $$y_i \in \left\{ { - 1,1} \right\}$$

  에 의해 라벨링 된 클래스에 속함

• 바운더리 H는 다음과 같이 정의됨

  $$w \cdot \Phi \left( x \right) + b = 0$$
• support vector가 위치한 margin에서 클래스 A와 B의 방정식은 다음과 같음

  \eqalign{ & w \cdot \Phi \left( x \right) + b = + 1 \cr & w \cdot \Phi \left( x \right) + b = - 1 \cr}

  where vector w defines the boundary

  b is a scalar threshold

• 데이터를 가장 잘 나누는 hyperplane은 다음 optimization problem 문제의 solution임(vapnik, 2000)

  

  where C is a penalty factor, and it implements a trade-off between empirical risk and confidence interval

  coefficient ξ is a slack factor

(이해 못함)

Multi-Class SVM

• 처음에는 SVM이 2-class pattern recognition으로 제안됨

• multi-class pattern recognition을 하는 두 가지 방법

  • one to one algorithm

  • one to rest algorithm: 이 논문에서 사용한 방법 (Yuan and Chu)

    \eqalign{ & For\,a\,data\,set\,of\,k\,classes \cr & \left( {x_i ,y_i } \right),\,\,\,\,\,i = 1,2,...,l \cr & x_i \in R^N \cr & y_i \in \left\{ {1,2,...,k} \right\} \cr}
• "one to others" multi-class SVM algorithm:

  • k개의 클래스 중에 한 개의 클래스를 하나의 카테고리로 정하고 나머지 k-1개의 클래스를 another category로 정함

    그리고 첫 번째 two-class SVM classifier를 SVM1이라고 명명함

  • 첫번째로 선택한 클래스를 제외하고 다시 나머지 k-1개의 클래스 중 하나와 그 외의 k-2개의 클래스로 나눔

    두번째 two-class SVM classifier를 SVM2로 명명함

  • 같은 방법을 계속 반복하고 마지막 two-class SVM classifier를 SVM k-1로 명명함

    클래스가 k개일 때 classifier는 k-1개임

  • 분류할 때에는 새로운 샘플 x는 SVM에 순서대로 입력됨

    SVM1의 결과가 1이면 x는 첫 번째 클래스에 포함시킴

• 이 방법(one to other)은 k-1개의 two-class classifier가 사용됨. 반면에 "one to one" 방법은 k(k-1)/2 단계의 알고리즘이 필요함

Test Rig

• 3가지의 subsystem: machine set, transducer, data acquisition system

  • transducer: accelerometer, signal conditioner로 구성됨, 외륜에서 진동 신호 측정

  • sample freq.: 25.6kHz

• 방전 가공으로 인위적 결함 만듦

• 베어링 사양

Rolling Bearing Fault Diagnosis

• 200개의 진동 신호 데이터셋을 training dataset/Test dataset으로 나눔

  • 180개의 training dataset, 20개의 test dataset

• training dataset에서 추출한 feature로 학습시킴

Feature Extraction

Hilbert transform을 하기 전에 band-pass filter로 공진 주파수 주변을 필터링함(1000~5000 Hz)

fr=12

fb = 47.8

fi=51.9

fo=32.1

임펄스가 보이지 않고 shaft rotation freq.가 명확하게 보임

fr=12

fb = 47.8

fi=51.9

fo=32.1

fr=12

fb = 47.8

fi=51.9

fo=32.1

고장 베어링들은 해당 결함 주파수가 명확하게 보임

envelope spectrum에서 local maximum amplitude들을 multi-class SVM input feature vector로 사용함

: A(fr), A(fb), A(fi), A(fo)

Fault Pattern Reorganization

• 조건이 4개이므로 3개의 two-class SVM classifier 사용

• SVM1에서 ball fault를 y=+1, other conditions을 y=-1로 정의

  SVM2, 3도 같은 방법 수행

  SVM3의 결과가 -1이면 normal condition

• RBF kernel parameter _σ_는 2로 설정됐고 SVM1, 2, 3은 각각 8, 6, 5개의 support vector를 얻었음

테스트 데이터는 정확도 100%였음