# Wavelet Decomposition based
## Wavelet decomposition of vibrations for detection of bearing-localized defects
1996, C. James Li and Jun Ma, NDT\&E International
### Introduction
* ringing: 롤러와 결함 사이의 충격 때문에 급격히 증가했다가 내부 댐핑에 의해 exponential envelope을 따라 감쇠됨
#### Definition and basic properties
* 임의의 square integrable func. x(t)는 또다른 square integrable func.인 g(t)의 shift 되거나 dilate된 버전으로 나타낼 수 있음
* where g(t) : analysing wavelet
* g(t)의 특성
* g(t)가 squre integrable하다면:
$$
\int {|g\left( t \right)|^2 dt < \infty }
$$
* admissibility condition을 만족:
$$
c\_g = 2\pi \int {{{|G\left( \omega \right)|^2 } \over {|\omega |}}d\omega < \infty }
$$
이 condition은 g(t)가 freq. 0에서 사라진다는 것을 의미함
$$
\left. {|G\left( \omega \right)|^2 } \right|\_{\omega = 0} = 0
$$
이 성질이 wavelet이 band-pass like spectrum을 가지게 함
* where G(w) = Fourier transform of g(t), then x(t)는 다음을 만족
$$
\int {|x\left( t \right)|^2 dt < \infty }
$$
* synthesis pair
$$
\eqalign{ & W\_x \left( {a,b} \right) = \int {g^{\*\left( {a,b} \right)} \left( t \right)x\left( t \right)dt} \cr & x\left( t \right) = {1 \over {c\_g }}\int {\int {g^{\left( {a,b} \right)} \left( t \right)W\_x \left( {a,b} \right){1 \over {a^2 }}dadb} } \cr}
$$
(\* means complex conjugate)
* where g^(a,b)(t)가 shift되고 dilate된 wavelet이면
$$
g^{\left( {a,b} \right)} \left( t \right) = {1 \over {\sqrt a }}g\left( {{{t - b} \over a}} \right)\left( {a > 0} \right)
$$
* 결론: wavelet g(t)는 oscillating하고 short-lasting한다
* 이유1: admissibility condition 때문에 g(t)는 평균이 0이 됨
$$
\int {g\left( t \right) = 0} ,or,G\left( 0 \right) = 0
$$
* 이유2: finite energy condition (= g(t)가 squre integrable)
* 몇 가지 수학적인 조작(?)으로 wavelet tranform의 물리적 의미를 알 수 있음
$$
Let,h^{\left( a \right)} \left( t \right) = - {1 \over {\sqrt a }}g^\* \left( { - {t \over a}} \right)
$$
W\_x(a,b)가 다음과 같아짐(synthesis pair)
$$
W\_x \left( {a,b} \right) = \int {h^{\left( a \right)} \left( t \right)x\left( {b - t} \right)dt}
$$
W\_x는 b에 대한 함수로서 impulse response가 h^(a)(t)이고 input signal이 x(t)인 함수가 된다
#### Relationship with Fourier transform
* wavelet transform과 비슷하게 STFT도 time-frequency analysis tool임
* STFT:
$$
X\left( {\omega ,b} \right) = \int {x\left( t \right)w\_f \left( {b - f} \right)\exp \left( { - j\omega t} \right)dt}
$$
where w\_f(t) is the window func.
* STFT와 비교하기 위해 g(t)를 modulatde harmonic func.으로 만들면
$$
g\left( t \right) = w\left( t \right)\exp \left( {j\omega \_0 t} \right)
$$
where w(t) = window of finite length characterizing the time domain concentration property
* 그러면 Wx는 다음과 같아짐
$$
W\_x \left( {a,b} \right) = \exp \left( {j{{\omega \_0 } \over a}b} \right) \cdot \int {x\left( t \right){1 \over {\sqrt a }}w\left( {{{t - b} \over a}} \right)\exp \left( { - j{{\omega \_0 } \over a}t} \right)dt}
$$
STFT X(w,b)와 비슷한 모양이 됨
* STFT는 window size가 고정되어있어서 freq. w를 바꿀 수 없음 -> time and freq. resolution이 고정됨
그러나 wavelet에서는 a에 의해 윈도우 길이가 정해질 수 있음 ex) 고주파수 성분에서는 윈도우 길이를 줄여서 time domain에서 high resolution을 얻을 수 있음
#### Construction of the basic wavelet
* 다음 수식에 정의된 WT에 대한 한 가지 해석은
$$
W\_x \left( {a,b} \right) = \int {g^{\*\left( {a,b} \right)} \left( t \right)x\left( t \right)dt}
$$
다음 수식에 정의된 g^(a,b)(t)의 complex conjugate의 inner product라고 간주하는 것임
$$
g^{\left( {a,b} \right)} \left( t \right) = {1 \over {\sqrt a }}g\left( {{{t - b} \over a}} \right),,,\left( {a > 0} \right)
$$
-> WT는 신호와 wavelet g 사이의 유사성을 나타내는 coefficient를 도출함
* bearing signature는 주기적으로 burst했다가 exponential하게 decay하는 모양이기 때문에 basic wavelet을 다음과 같이 정함
$$
g\left( t \right) = \exp \left( { - \sigma t} \right)\sin \left( {\omega \_0 t} \right)
$$
#### Bearing defect detection
**Defect detection scheme**
* periodic structural ringing이 일어났음
* 베어링 결함을 감지하기 위해서 각각 다른 dilation에서 WT를 해보고 특성의 변화를 관찰해야함(ex. magnitude)
* 손상 신호의 주기성을 찾는 방법
* WT의 autocorrelation 계산, 특정 주파수 주변에서의 time lag 찾기
**Case Study**
outer race에 결함이 생겼을 때에는 육안으로 봐도 확연히 보임, 그러나 roller 결함은 잘 안 보임
outer race와 roller의 defect freq. 계산(Appendix A)
$$
\eqalign{ & f\_{or} = {n \over 2}f\_r \left\[ {1 - {{BD} \over {PD}}\cos \beta } \right] \cr & f\_{ir} = {n \over 2}f\_r \left\[ {1 + {{BD} \over {PD}}\cos \beta } \right] \cr & f\_{ro} = {{BD} \over {PD}}f\_r \left\[ {1 - \left( {{{PD} \over {BD}}} \right)^2 \cos \beta } \right] \cr}
$$
위 공식에 따라 f\_or과 f\_ro의 defect freq.를 계산함:
$$
\eqalign{ & f\_{or} = 6.854f\_r \cr & f\_{ro} = 6.24f\_r \cr}
$$
where f\_r = shfat speed of the bearing in Hz
time lag 4.76에서 autocorrelation의 local peak는 약 210Hz(estimated ringing rate f\_a) 주기로 ringing이 발생한다는 것을 의미함
table 1, 2에 의하면 f\_a는 다음 range에 포함됨
$$
0.9f\_{ro} < f\_a < 1.1f\_{or}
$$
f\_ro와 f\_or이 비슷한 값이기 때문에 결함 위치를 찾는 기준을 다음과 같이 정함
$$
\eqalign{ & if,f\_a \le {{f\_{or} + f\_{ro} } \over 2},,say,roller,damaged \cr & if,f\_a > {{f\_{or} + f\_{ro} } \over 2},,say,outer - race,damaged \cr}
$$
## 기어 결함 검출을 위한 포락처리와 웨이블릿 변환의 적용
2008, 구동식, 이정환, 양보석, 최병근, 대한기계학회
### Introduction
* AE(Acoustic emission) 센서: 고주파수 대역의 신호를 검출할 수 있는 센서
* 미세한 결함, 소성 변형에서 발생하는 에너지를 감지
* 이전에는 주로 비파괴 검사에 이용되었지만 최근에는 상태 감시 분야에도 사용되고 있음
* 상태 감시 분야에서는 주로 베어링 결함 검출에 사용
* 베어링 결함 검출에서 사용하는 방법을 기어 결함에도 적용하는 연구 수행
### 신호 처리
#### Envelope Analysis
* 4단계의 과정
* Band Pass Filtering
* 기계적 진동 요소와 관련된 신호, 랜덤한 노이즈 제거
* 베어링 고유 진동수를 포함하는 BPF 영역이 가장 좋지만(임팩트 테스트) 주변의 다른 기계요소들 때문에 어려움
* 영역을 여러 구간으로 나눠서 처리함
100 \~ 500 kHz
500 \~ 750 kHz
750 \~ 1000 kHz
1000 \~ 1500 kHz
1500 \~ 2400 kHz
* Recification
* Hilbert Transform
* Power Spectrum
#### Wavelet Transform
* MATLAB toolbox Daubechies 사용
* 웨이블릿 레벨이 증가할 때 중심 주파수를 기준으로 저주파와 고주파로 신호가 나뉨
ex) 주파수 범위가 100 \~ 500 kHz 라고 한다면
레벨 1일때 300 \~ 500 kHz
레벨 2일때 200 \~ 300 kHz
레벨 1일때 150 \~ 200 kHz
#### 신호 처리 방법
### 실험 방법
#### 실험 장치
* 기어박스: oil-bath 윤활 형식
* 테이퍼 롤러 베어링
* 내륜 결함 주파수: 300.1 Hz
* 외륜 결함 주파수: 124.8 Hz
* 모터 운전 속도: 1500 rpm
* 피니언 이 수 50개, 기어 이 수 70개
* 디스크 브레이크로 1.2 kNm부하를 가함
* 피니언의 Gear Meshing Freq. = 1250Hz = 축의 회전 주파수 \* 잇수
#### 실험 과정
* 정상 피니언 vs 결함 피니언(crack)
* AE 센서로 데이터 취득: 무부하 상태에서 40분 + 부하 가한 후 45분
### 실험 결과
* 사전 분석에서 wavelet level은 4
* 모든 case에서 운전 주파수/운전 주파수의 조화 성분이 나타남
* 정상 피니언
* case 1
GMF 성분이 전혀 나타나지 않음
* case 2\~5
(GMF 성분이 약간 나타나는듯함)
* 결함 피니언
* 무부하
* GMF(1250 Hz)근처와 그의 조화 성분이 정상 피니언에 비해 높음
* 부하(1.2kNm)
* 운전 주파수와 조화 성분들은 GMF에 비해 많이 줄어듦
* GMF와 조화 성분은 높은 진폭
* BPF 500\~750 kHz 영역
* 필터링된 신호를 웨이블릿 변환을 통해 결함 성분을 더욱 강조시킴
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