Wavelet Decomposition based

Wavelet decomposition of vibrations for detection of bearing-localized defects

1996, C. James Li and Jun Ma, NDT&E International

Introduction

• ringing: 롤러와 결함 사이의 충격 때문에 급격히 증가했다가 내부 댐핑에 의해 exponential envelope을 따라 감쇠됨

Definition and basic properties

• 임의의 square integrable func. x(t)는 또다른 square integrable func.인 g(t)의 shift 되거나 dilate된 버전으로 나타낼 수 있음

  • where g(t) : analysing wavelet

  • g(t)의 특성

    • g(t)가 squre integrable하다면:

      $$\int {|g\left( t \right)|^2 dt < \infty }$$
    • admissibility condition을 만족:

      $$c_g = 2\pi \int {{{|G\left( \omega \right)|^2 } \over {|\omega |}}d\omega < \infty }$$

      이 condition은 g(t)가 freq. 0에서 사라진다는 것을 의미함

      $$\left. {|G\left( \omega \right)|^2 } \right|_{\omega = 0} = 0$$

      이 성질이 wavelet이 band-pass like spectrum을 가지게 함

    • where G(w) = Fourier transform of g(t), then x(t)는 다음을 만족

      $$\int {|x\left( t \right)|^2 dt < \infty }$$
  • synthesis pair

    \eqalign{ & W_x \left( {a,b} \right) = \int {g^{*\left( {a,b} \right)} \left( t \right)x\left( t \right)dt} \cr & x\left( t \right) = {1 \over {c_g }}\int {\int {g^{\left( {a,b} \right)} \left( t \right)W_x \left( {a,b} \right){1 \over {a^2 }}dadb} } \cr}

    (* means complex conjugate)

    • where g^(a,b)(t)가 shift되고 dilate된 wavelet이면

      $$g^{\left( {a,b} \right)} \left( t \right) = {1 \over {\sqrt a }}g\left( {{{t - b} \over a}} \right)\left( {a > 0} \right)$$

  
• 결론: wavelet g(t)는 oscillating하고 short-lasting한다

  • 이유1: admissibility condition 때문에 g(t)는 평균이 0이 됨

  $$\int {g\left( t \right) = 0} \,or\,G\left( 0 \right) = 0$$

  • 이유2: finite energy condition (= g(t)가 squre integrable)

• 몇 가지 수학적인 조작(?)으로 wavelet tranform의 물리적 의미를 알 수 있음

  $$Let\,h^{\left( a \right)} \left( t \right) = - {1 \over {\sqrt a }}g^* \left( { - {t \over a}} \right)$$

  W_x(a,b)가 다음과 같아짐(synthesis pair)

  $$W_x \left( {a,b} \right) = \int {h^{\left( a \right)} \left( t \right)x\left( {b - t} \right)dt}$$

  W_x는 b에 대한 함수로서 impulse response가 h^(a)(t)이고 input signal이 x(t)인 함수가 된다

Relationship with Fourier transform

• wavelet transform과 비슷하게 STFT도 time-frequency analysis tool임

  • STFT:

    $$X\left( {\omega ,b} \right) = \int {x\left( t \right)w_f \left( {b - f} \right)\exp \left( { - j\omega t} \right)dt}$$

    where w_f(t) is the window func.

• STFT와 비교하기 위해 g(t)를 modulatde harmonic func.으로 만들면

  $$g\left( t \right) = w\left( t \right)\exp \left( {j\omega _0 t} \right)$$

  where w(t) = window of finite length characterizing the time domain concentration property

  • 그러면 Wx는 다음과 같아짐

    $$W_x \left( {a,b} \right) = \exp \left( {j{{\omega _0 } \over a}b} \right) \cdot \int {x\left( t \right){1 \over {\sqrt a }}w\left( {{{t - b} \over a}} \right)\exp \left( { - j{{\omega _0 } \over a}t} \right)dt}$$

    STFT X(w,b)와 비슷한 모양이 됨

  • STFT는 window size가 고정되어있어서 freq. w를 바꿀 수 없음 -> time and freq. resolution이 고정됨

    그러나 wavelet에서는 a에 의해 윈도우 길이가 정해질 수 있음 ex) 고주파수 성분에서는 윈도우 길이를 줄여서 time domain에서 high resolution을 얻을 수 있음

Construction of the basic wavelet

• 다음 수식에 정의된 WT에 대한 한 가지 해석은

  $$W_x \left( {a,b} \right) = \int {g^{*\left( {a,b} \right)} \left( t \right)x\left( t \right)dt}$$

  다음 수식에 정의된 g^(a,b)(t)의 complex conjugate의 inner product라고 간주하는 것임

  $$g^{\left( {a,b} \right)} \left( t \right) = {1 \over {\sqrt a }}g\left( {{{t - b} \over a}} \right)\,\,\,\left( {a > 0} \right)$$

  -> WT는 신호와 wavelet g 사이의 유사성을 나타내는 coefficient를 도출함

• bearing signature는 주기적으로 burst했다가 exponential하게 decay하는 모양이기 때문에 basic wavelet을 다음과 같이 정함

  $$g\left( t \right) = \exp \left( { - \sigma t} \right)\sin \left( {\omega _0 t} \right)$$

  

Bearing defect detection

Defect detection scheme

• periodic structural ringing이 일어났음

  • 베어링 결함을 감지하기 위해서 각각 다른 dilation에서 WT를 해보고 특성의 변화를 관찰해야함(ex. magnitude)

  • 손상 신호의 주기성을 찾는 방법

    • WT의 autocorrelation 계산, 특정 주파수 주변에서의 time lag 찾기

Case Study

outer race에 결함이 생겼을 때에는 육안으로 봐도 확연히 보임, 그러나 roller 결함은 잘 안 보임

outer race와 roller의 defect freq. 계산(Appendix A)

\eqalign{ & f_{or} = {n \over 2}f_r \left[ {1 - {{BD} \over {PD}}\cos \beta } \right] \cr & f_{ir} = {n \over 2}f_r \left[ {1 + {{BD} \over {PD}}\cos \beta } \right] \cr & f_{ro} = {{BD} \over {PD}}f_r \left[ {1 - \left( {{{PD} \over {BD}}} \right)^2 \cos \beta } \right] \cr}

위 공식에 따라 f_or과 f_ro의 defect freq.를 계산함:

\eqalign{ & f_{or} = 6.854f_r \cr & f_{ro} = 6.24f_r \cr}

where f_r = shfat speed of the bearing in Hz

time lag 4.76에서 autocorrelation의 local peak는 약 210Hz(estimated ringing rate f_a) 주기로 ringing이 발생한다는 것을 의미함

table 1, 2에 의하면 f_a는 다음 range에 포함됨

$$0.9f_{ro} < f_a < 1.1f_{or}$$

f_ro와 f_or이 비슷한 값이기 때문에 결함 위치를 찾는 기준을 다음과 같이 정함

\eqalign{ & if\,f_a \le {{f_{or} + f_{ro} } \over 2},\,say\,roller\,damaged \cr & if\,f_a > {{f_{or} + f_{ro} } \over 2},\,say\,outer - race\,damaged \cr}

기어 결함 검출을 위한 포락처리와 웨이블릿 변환의 적용

2008, 구동식, 이정환, 양보석, 최병근, 대한기계학회

Introduction

• AE(Acoustic emission) 센서: 고주파수 대역의 신호를 검출할 수 있는 센서

  • 미세한 결함, 소성 변형에서 발생하는 에너지를 감지

  • 이전에는 주로 비파괴 검사에 이용되었지만 최근에는 상태 감시 분야에도 사용되고 있음

    • 상태 감시 분야에서는 주로 베어링 결함 검출에 사용

    • 베어링 결함 검출에서 사용하는 방법을 기어 결함에도 적용하는 연구 수행

신호 처리

Envelope Analysis

• 4단계의 과정

  • Band Pass Filtering

    • 기계적 진동 요소와 관련된 신호, 랜덤한 노이즈 제거

    • 베어링 고유 진동수를 포함하는 BPF 영역이 가장 좋지만(임팩트 테스트) 주변의 다른 기계요소들 때문에 어려움

      • 영역을 여러 구간으로 나눠서 처리함

        100 ~ 500 kHz

        500 ~ 750 kHz

        750 ~ 1000 kHz

        1000 ~ 1500 kHz

        1500 ~ 2400 kHz

  • Recification

  • Hilbert Transform

  • Power Spectrum

Wavelet Transform

• MATLAB toolbox Daubechies 사용

  

  • 웨이블릿 레벨이 증가할 때 중심 주파수를 기준으로 저주파와 고주파로 신호가 나뉨

    ex) 주파수 범위가 100 ~ 500 kHz 라고 한다면

    레벨 1일때 300 ~ 500 kHz

    레벨 2일때 200 ~ 300 kHz

    레벨 1일때 150 ~ 200 kHz

신호 처리 방법

실험 방법

실험 장치

• 기어박스: oil-bath 윤활 형식

• 테이퍼 롤러 베어링

  • 내륜 결함 주파수: 300.1 Hz

  • 외륜 결함 주파수: 124.8 Hz

• 모터 운전 속도: 1500 rpm

• 피니언 이 수 50개, 기어 이 수 70개

• 디스크 브레이크로 1.2 kNm부하를 가함

• 피니언의 Gear Meshing Freq. = 1250Hz = 축의 회전 주파수 * 잇수

실험 과정

• 정상 피니언 vs 결함 피니언(crack)

• AE 센서로 데이터 취득: 무부하 상태에서 40분 + 부하 가한 후 45분

실험 결과

• 사전 분석에서 wavelet level은 4

• 모든 case에서 운전 주파수/운전 주파수의 조화 성분이 나타남

• 정상 피니언

  • case 1

    

    GMF 성분이 전혀 나타나지 않음

  • case 2~5

    

    (GMF 성분이 약간 나타나는듯함)

• 결함 피니언

  • 무부하

    

    • GMF(1250 Hz)근처와 그의 조화 성분이 정상 피니언에 비해 높음

  • 부하(1.2kNm)

    • 운전 주파수와 조화 성분들은 GMF에 비해 많이 줄어듦

    • GMF와 조화 성분은 높은 진폭

    

    • BPF 500~750 kHz 영역

    

    • 필터링된 신호를 웨이블릿 변환을 통해 결함 성분을 더욱 강조시킴