# Autoregressive(AR) model based

## A COMPARISON OF AUTOREGRESSIVE MODELING TECHNIQUES FOR FAULT DIAGNOSIS OF ROLLING ELEMENT BEARINGS

D. C. Baillie and J. Mathew, Mechanical Systems and Signal Processing, 1996

### Introduction

베어링 고장 진단은 짧은 시간동안의 신호를 분석해야함: 푸리에보다 성능이 좋음

### Model-based fault diagnosis

AR 모델은 3가지로 나눌 수 있음: pattern classification, rule-based inference, mathematical modeling

이 논문에서는 'black-box' autoregressive time series model을 씀

general autoregressive process:

$$
\hat y\left( t \right) = f\left( {y\left( {t - 1} \right),y\left( {t - 2} \right),...,y\left( {t - n} \right)} \right)
$$

modeling prediction error

$$
e\left( t \right) = y\left( t \right) - \hat y\left( t \right)
$$

노이즈가 많은 신호라면 노이즈를 필터링 해야함: average square of error for prediction, 노이즈가 많다면 이 평균의 개수가 중요함(??), SNR은 전체 power에 따라 에러도 normalize시키기 때문에 좋은 averaging process임

$$
SNR = 10\log \_{10} \left( {{{\sum {y\left( t \right)^2 } } \over {\sum {e\left( t \right)^2 } }}} \right)
$$

결함을 classification하는 가장 쉬운 방법은 SNR이 최대화되는 모델을 만드는 것: 모델이 robust하지 않으면 잘못될 확률이 다소 높다

조금 더 정교한 방법: baye's rule 단점: 특정 확률은 미리 알고있어야함

probability of fault existence:

$$
P\left( {M\_i |SNR\_i } \right) = {{p\left( {SNR\_i |M\_i } \right) \cdot P\left( {M\_i } \right)} \over {\sum\limits\_j {p\left( {SNR\_i |M\_j } \right)} \cdot P\left( {M\_j } \right)}}
$$

This is defined as the probability that a fault of class i is present given that the jth model in the observer bank has generated a SNR in response to a vibration signal input

j번째 모델이 진동 신호 인풋에 대해 SNR을 생성한 경우에 클래스 i 결함이 존재할 확률

prior probability P(M): 각 타입별로 결함이 일어날 확률(각각 동일하다고 정의)

​ ex) inner race의 likelihood와 normal condition의 likelihood는 동일함

P(SNR|M) : 각 결함 모델에 대한 SNR의 conditional probability density (실험으로 얻은 데이터)

### Test Rig and Data Collection

* 베어링 타입: double row self aligning type
* load: 9.0 kN
* 외륜은 하우징에 고정, 하우징에 가속도 센서 부착
* shaft speed: 3000 rpm
* 결함
  * 종류
    * inner race fault
    * outer race fault
    * rolling element fault
  * 가공 방법
    * electro discharge machining

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-1c8571ae5d411f5274c02f86d746aba8bf97b6f1%2F5%20\(3\).png?alt=media)

#### preprocessing the time series signal

* amplitude demodulation (= high freq. resonance envelope detection) 수행: 아날로그 하드웨어를 사용
  * 베어링 외부 신호를 필터링하는데 효과적이다, 필수적임
* normalization
  * neural network에서 input으로 사용하기 위함

### Linear Autoregressive Modeling

linear autoregressive model:

$$
\hat y\left( t \right) = a\_1 y\left( {t - 1} \right) + a\_2 y\left( {t - 2} \right) + ... + a\_n y\left( {t - n} \right) + e\left( t \right)
$$

* model order: 몇개의 past input을 쓸 것인가, 실험으로 찾아야함
* model parameter: 기존에 있는 알고리즘 많으니까 갖다 쓰기
  * 이 논문에서는 간단하게 설명하기 위해 forward least-square algorithm을 사용
* model validation: 성능이 별로면 차수를 높여서 반복

linear AR model은 single layer neural network처럼 사용될 수 있음 ↓

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-ec69d32b9e674e9573ba54b6194ec0263801edea%2F1.png?alt=media)

그렇게 해서 찾은 optimal linear AR model:

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-532eca91ac6a7db67c296f1c6df16d05915b395b%2F2.png?alt=media)

inner race와 outer race fault에 대해 매우 정확함

rolling element fault는 매 회전마다 defect 신호가 발생하는 건 아니라서 정확한 예측에 약간의 어려움 있음

normal bearing은 노이즈가 랜덤하기 때문에 모델을 만드는 데에 어려움이 있음

모델을 정하고 나서 data length에 따른 성능을 평가함: prediction error에서 SNR 계산

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-10ef030f8db0880b0568f067bb0d3054af55eb46%2F3.png?alt=media)

normal bearing에서 가장 안 좋음

​ 이유: This was primarily because the classifier did not perform sufficiently well as it only indicated low probabilities of the response of a normal bearing condition

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-a908449781a4d7d6a1a4a0a93a1c9232de602116%2F4.png?alt=media)

### Backpropagation Neural Network

....

## Diagnostics 101: A Tutorial for Fault Diagnostics of Rolling Element Bearing Using Envelope Analysis in MATLAB

Seokgoo Kim, Dawn An, Joo-Ho Choi, MDPI, 2020

### Discrete Signal Seperation

AR model: to estimate the current value of time series data via weighted sum of the past values

raw signal - AR model = residual signal

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-e9ccada621956f4565a3df7002312e5ddfafc082%2F6.png?alt=media)

AR model:

$$
x\_p \left( n \right) = - \sum\limits\_{k = 1}^p {a\left( k \right)x\left( {n - k} \right)} ,or,in,a,matrix,form,x\_p = - X\_a
$$

p: order

a(k) 얻기 위해 Yule-Walker eqn. 사용

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-f966f01ae5da966cb71c67832dd79eebda0d7119%2F7.png?alt=media)

r\_xx는 x(n)의 autocorrelation func.이고 다음과 같음

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-754fa0f0242b582bf85513a318c6fdf261124c13%2F8.png?alt=media)

order p를 결정하는 기준

* Akaike information criteria (AIC), Bayesian information criterion (BIC), Minimum description length (MDL), Partial Autocorrelation Function (PACF)
* 이 논문에서는 residual signal의 kurtosis가 가장 높아질 때의 p를 사용

![](https://3698175758-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-x-prod.appspot.com/o/spaces%2F-MAwtzMy_pbrChIExFtN%2Fuploads%2Fgit-blob-45c52f75af2bc98a732efda36d651f93325fbd78%2F9.png?alt=media)
